Las Matemáticas: Unión de armonía, belleza y ciencia

Cuántas moléculas se pueden formar añadiendo radicales hidrógeno o metilo a un anillo de benceno? Éste y otros problemas elementales se resuelven por la simetría de una configuración. La simetría es una propiedad que encontramos en la naturaleza y que disfrutamos en la armonía de las creaciones artísticas que la poseen. En matemáticas, el estudio y la aplicación de la simetría y de sus elementos relacionados, como los otros números, son el origen del Álgebra, tal y como la conocemos en la actualidad.

ORIGEN DEL ÁLGEBRA

El origen de la palabra Álgebra es árabe y aparece en la obra Hisab al-jabr wál muqabala (ciencia de la transposición y simplificación de los términos de una ecuación) de Mohammed ibn Musa Al´Kwarizmi, escrita en el año 830. La ciencia de las ecuaciones y su recorrido por los tiempos es el origen del álgebra.

De las ecuaciones llegamos a los números, construidos para contar y medir, reales, en el sentido de recoger una cierta realidad física o geométrica. El estudio en la Italia del Cinquecento (siglo XVI) de las soluciones de ecuaciones de grados 3 y 4 usó cálculos que precisaban números que excedían el marco, llamados imaginarios por Descartes, el origen de lo que hoy conocemos como los números complejos. Entre el siglo XIX y el XX, estos últimos se extendieron a sistemas de números hipercomplejos, como los cuaternios y los octoniones, con aplicaciones en mecánica cuántica y física de partículas. Estos sistemas numéricos serán una base para la sustanciación de la teoría de álgebras.

El gran impulso en la teoría de ecuaciones se debe a Galois en el primer tercio del siglo XIX, en el que tras sus primeros trabajos sobre cuestiones de análisis, números y ecuaciones caracteriza su resolución mediante fórmulas radicales a través de la simetría de sus raíces. El trabajo de Galois condujo al fundamental concepto de grupo para regular las simetrías de las ecuaciones algebraicas. Este concepto, debidamente formulado, dará lugar a una línea de gran relevancia en matemáticas y sus aplicaciones, la teoría de grupos.

Reemplazando ecuaciones algebraicas por diferenciales, la simetría de éstas se caracteriza por los llamados grupos de Lie. Estos son objetos muy complicados que se estudian localmente, por medio de las álgebras de Lie, unos números con propiedades muy especiales. Vuelven aparecer las álgebras como números dados por simetrías.

Esta relación no es casual. En 1963 el físico Wigner recibió el premio Nobel por sus contribuciones a la física de partículas y a la mecánica cuántica fundamentadas en la aplicación de los principios de simetría. Su obra se compara cualitativamente a la de Einstein y en ella aplica la idea de que las transformaciones einstenianas son un grupo de simetría del espacio-tiempo de Minkowski, una aplicación fructífera de los principios de simetría en este marco.

Al final del siglo XIX se pusieron las bases a los distintos estudios de álgebra, de modo que el centro de gravedad se traslada a las diversas teorías, grupos, anillos, álgebras... que arrancaron antes o después con sus fundamentos específicos, dando comienzo a un período muy fértil de las matemáticas modernas. Sin embargo, podemos colegir sin errar que una buena parte de los conceptos procede de las simetrías y de los números.

EL GRUPO ÁLGEBRA

El grupo de investigación Álgebra de la Universidad de Zaragoza trabaja sobre dos grandes líneas de investigación: la teoría de grupos y aplicaciones y la teoría de álgebras y aplicaciones. Ambas líneas se desarrollan desde el punto de vista con el que se enfoca el Álgebra hoy y describen estructuras discretas que (a largo plazo, eso sí) tienen notables aplicaciones en simetría molecular y cristalográfica, mecánica cuántica y física de partículas. Desde dos ventanas, las líneas aportan aplicaciones inmediatas a la Teoría de la Información, códigos, para enviar mensajes en forma segura, y criptografía, para cifrar y descifrarlos. Pero además, las Matemáticas son armonía, belleza y ciencia. En el grupo se cultiva el álgebra, una de sus partes más abstractas y distantes, en líneas que son herederas de la simetría (la belleza) y de los números (la cercanía).

El grupo Álgebra está integrado por científicos aragoneses, que a su vez colaboran y participan en dos grandes proyectos nacionales, coordinados con otras universidades españolas como Alicante, La Rioja, Málaga, Pública de Navarra, Oviedo y Valencia. Además, el grupo mantiene fluidos contactos con grupos análogos de universidades americanas, europeas y de otros lugares.

JAVIER OTAL